吴恩达笔记9_PCA

吴恩达机器学习-9-降维PCA

在本文中主要介绍的是数据降维相关的内容，重点讲解了PCA算法

• 为什么要实施降维
  • 数据压缩
  • 数据可视化
• PCA算法
  • PCA和线性回归算法的区别
  • PCA算法特点
  • Python实现PCA
• sklearn中实现PCA

为何降维

在现实高维数据情况下，会有数据样本稀疏、距离计算困难等问题，被称为维数灾难。

解决的方法就是降维，也称之为“维数约简”，即通过某种数据方法将原始高维属性空间转成一个低维“子空间”。在这个子空间中，样本密度大大提高，将高维空间中的一个低维“嵌入”。

降维Dimensionality Reduction

数据降维主要是有两个动机：

• 数据压缩Data Compression
• 数据可视化Data Visualization

数据压缩Data Compression

上图解释：

1. 在一个三维空间中的特征向量降至二维的特征向量。
2. 将三维投影到一个二维的平面上，迫使所有的数据都在同一个平面上。
3. 这样的处理过程可以被用于把任何维度的数据降到任何想要的维度，例如将1000维的特征降至100维。

数据可视化Data Visualization

降维能够帮助我们进行数据的可视化工作。

上面图的解释：

1. 假设给定数据，具有多个不同的属性
2. 某些属性表示的含义可能相同，在图形中可以放到同一个轴上，进行数据的降维

PCA- Principal Component Analysis

在PCA中，要做的是找到一个方向向量（Vector direction），当把所有的数据都投射到该向量上时，PCA的关键点就是找到一个投影平面使得投影误差最小化。

方向向量是一个经过原点的向量，而投射误差是从特征向量向该方向向量作垂线的长度。

PCA与线性回归的区别

1. 线性回归中的纵轴是预测值，PCA中是特征属性
2. 误差不同：PCA是投射误差，线性回归是尝试最小化预测误差。
3. 线性回归的目的是预测结果，`PCA·是不做任何分析。

PCA算法

主成分分析中，首先对给定数据进行规范化，使得数据每一变量的平均值为0，方差为1。

之后对数据进行正交变换，用来由线性相关表示的数据，通过正交变换变成若干个线性无关的新变量表示的数据。

新变量是可能的正交变换中变量的方差和(信息保存)最大的，方差表示在新变量上信息的大小。将新变量一次成为第一主成分，第二主成分等。通过主成分分析，可以利用主成分近似地表示原始数据，便是对数据降维。

PCA算法中从n维到k维的过程是

• 均值归一化。计算所有特征的均值，令$x_j=x_j-\mu_j$，如果特征不在一个数量级上，需要除以标准差

• 计算协方差矩阵 covariance matrix

  

• 计算协方差矩阵$\sum$的特征向量 eigenvectors

在西瓜书中的描述为

主成分个数确定

关于PCA算法中主成分个数k的确定，一般是根据公式：

不等式右边的0.01可以是0.05，或者0.1等，都是比较常见的。当为0.01的时候，表示保留了99%的方差数据，即大部分的数据特征被保留了。

当给定了个数k，协方差矩阵S中求解出来的各个特征值满足公式：

也就是满足：

这个和上面的公式是等价的。

重建的压缩表示

重建的压缩表示Reconstruction from Compressed Representation指的是将数据从低维还原到高维的过程。

上图中有两个样本$s^{(1)},x{(2)}$。通过给定的实数z，满足$z={U_{reduce}^{T}_x}$，

将指定的点位置映射到一个三维曲面，反解前面的方程：

PCA特点

1. PCA本质上是将方差最大的方向作为主要特征，让这些特征在不同正交方向上没有相关性。
2. PCA是一种无参数技术，不需要进行任何参数的调节

Python实现PCA

利用numpy、pandas、matplotlib库实现PCA算法

sklearn中实现PCA

Linear dimensionality reduction using Singular Value Decomposition of the data to project it to a lower dimensional space. The input data is centered but not scaled for each feature before applying the SVD.

用sklearn学习PCA

实现模块

在scikit-learn中，与PCA相关的类都在sklearn.decomposition包中。最常用的PCA类就是sklearn.decomposition.PCA。

白化：对降维后的数据的每个特征进行归一化，让方差都为1

class sklearn.decomposition.PCA(n_components=None, # 降维后的特征数目，直接指定一个整数
                                copy=True,
                                whiten=False, # 判断是否进行白化，默认是不白化
                                svd_solver='auto', # 指定奇异值分解SVD的方法
                                tol=0.0,
                                iterated_power='auto',
                                random_state=None)

demo

在这里讲解一个例子，利用PCA算法来进行IRIS数据的分类